分部积分法是一个特别的积分方法，最适用于积分两个函数的积，但在其他的情况下也会有用。

下面会有很多例子，但我们先来看看法则：

∫u v dx = u∫v dx −∫u’ (∫v dx) dx

• u 是函数 u(x)
• v 是函数 v(x)

图：

我们现在看一个例子：

例子：∫x cos(x) dx 是什么？

这是 x 乘以 cos(x)，所以应该可以用分部积分法。

我们需要先选择哪个函数为 u 和 v：

• u = x
• v = cos(x)

格式和法则里一样了：∫u v dx

求 u 的积分：u’ = x’ = 1

求 v 的积分：∫v dx = ∫cos(x) dx = sin(x)   （见 积分法则）

放进法则里：

简化，然后解：

x sin(x) − ∫sin(x) dx

x sin(x) + cos(x) + C

步骤是：

• 选 u 和 v
• 求 u 的积分：u’
• 求 v 的积分：∫v dx
• 代入 u, u’ and ∫v dx 到：u∫v dx −∫u’ (∫v dx) dx
• 简化，然后解

用文字写出来，∫u v dx 是：

（u 积分 v） 减 （u 的倒数，v 的积分）的积分

再看几个例子：

例子： ∫ln(x)/x² dx 是什么？

先选 u 和 v：

• u = ln(x)
• v = 1/x²

求 u 的积分：ln(x)’ = 1/x

求 v 的积分：∫1/x² dx = ∫x^-2 dx = −x^-1 = -1/x   （基于 幂次方法则）

放进法则里：

简化：

−ln(x)/x − ∫−1/x² dx = −ln(x)/x − 1/x + C

−(ln(x) + 1)/x + C

例子：∫ln(x) dx 是什么？

只有一个函数！我们怎样选 u 和 v ?

没问题！我们选 v 为 “1”：

• u = ln(x)
• v = 1

求 u 的积分：ln(x)’ = 1/x

求 v 的积分：∫1 dx = x

放进法则里：

简化：

x ln(x) − ∫1 dx = x ln(x) − x + C

例子： ∫e^x x dx 是什么？

选 u 和 v：

• u = e^x
• v = x

求 u 的积分：(e^x)’ = e^x

求 v 的积分： ∫x dx = x²/2

放进法则里：

糟了！越来越复杂！

如果我们选不同的 u 和 v 呢？

例子：∫e^x x dx （续）

选不同的 u 和 v：

• u = x
• v = e^x

求 u 的积分：(x)’ = 1

求 v 的积分：∫e^x dx = e^x

放进法则里：

简化：

x e^x − e^x + C

e^x(x−1) + C

故事的寓意是：小心选 u 和 v！

选一个微分后比较简单的 u 和积分后不会更复杂的 v。

可以用英语字 I LATE 来帮助记忆。按以下次序来选 u：

• I: (I)nverse 反三角函数，例如 sin^-1(x)、cos^-1(x)、tan^-1(x)
• L: (L)ogarithmic 对数函数，例如 ln(x)、log(x)
• A: (A)）lgebraic 代数函数，例如 x²、 x³
• T: (T)rigonometric 三角函数，例如 sin(x)、cos(x)、tan (x)
• E: (E)xponential 指数函数，例如 e^x、3^x

最后来看一个（复杂的）例子：

例子：∫e^x sin(x) dx

选 u 和 v：

• u = sin(x)
• v = e^x

求 u 的积分：sin(x)’ = cos(x)

求 v 的积分：∫e^x dx = e^x

放进法则里：

∫e^x sin(x) dx = sin(x) e^x -∫cos(x) e^x dx

乍看更加复杂，但别着急！我们可以再来一次分部积分法：

选 u 和 v：

• u = cos(x)
• v = e^x

求 u 的积分：cos(x)’ = -sin(x)

求 v 的积分：∫e^x dx = e^x

放进法则里：

∫e^x sin(x) dx = sin(x) e^x – (cos(x) e^x −∫−sin(x) e^x dx)

简化：

∫e^x sin(x) dx = e^x sin(x) – e^x cos(x) −∫ e^x sin(x)dx

现在每边都有同一个积分……

……把右边的搬到左边：

2∫e^x sin(x) dx = e^x sin(x) − e^x cos(x)

简化：

∫e^x sin(x) dx = e^x (sin(x) – cos(x)) / 2 + C

脚注：”分部积分法” 是从哪里来的？

分部积分法是基于 导数的积法则：

(uv)’ = uv’ + u’v

求每边的积分，然后重排：

∫(uv)’ dx = ∫uv’ dx + ∫u’v dx

uv = ∫uv’ dx + ∫u’v dx

∫uv’ dx = uv − ∫u’v dx

有些人喜欢上面这个格式，但我喜欢再求 v 的积分，使得左边简单一点：

∫uv dx = u∫v dx − ∫u'(∫v dx) dx